Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}-ax+b}}{e^x}$經(jīng)過點（0，3），且在該點處得切線與x軸平行
（1）求a，b的值；
（2）若x∈（t，t+1），其中t＞-2，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=3，可得b=3，求出導數(shù)，求得切線的斜率，可得a=-3；
（2）求出導數(shù)，對t討論，①當-2＜t＜-1時，②當-1≤t＜0時，③當t≥0時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間；由導數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+b}{{e}^{x}}$經(jīng)過點（0，3），
∴b=3，∴f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+3}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（2+a）x-a-3}{{e}^{x}}$，
由條件f′（0）=$\frac{-a-3}{{e}^{0}}$=-a-3=0，∴a=-3；
（2）由（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，導函數(shù)f′（x）=$\frac{-x（x+1）}{{e}^{x}}$，
①當-1＜t+1＜0，即-2＜t＜-1時，x∈（t，-1），f′（x）＜0，f（x）遞減；
x∈（-1，t+1），f′（x）＞0，f（x）遞增；
②當-1≤t＜0，時，x∈（t，0），f′（x）＞0，f（x）遞增；
x∈（0，t+1），f′（x）＜0，f（x）遞減；
③當t≥0時，x∈（t，t+1），f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上：①當-2＜t＜-1時，f（x）遞減區(qū)間為（t，-1），遞增區(qū)間為（-1，t+1）；
②當-1≤t＜0時，f（x）遞減區(qū)間為（0，t+1），f（x）遞增區(qū)間為（t，0）；
③當t≥0時，f（x）遞減區(qū)間為（t，t+1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．