Question

16．已知F₁、F₂是雙曲線M：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1的焦點(diǎn)，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x是雙曲線M的一條漸近線，離心率等于$\frac{3}{4}$的橢圓E與雙曲線M的焦點(diǎn)相同，P是橢圓E與雙曲線M的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)|PF₁|•|PF₂|=n，則下列正確的是（　�。�

• A． n=12
• B． n=24
• C． n=36
• D． n≠12且n≠24且n≠36

Answer 1

分析 利用F₁、F₂是雙曲線M：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1的焦點(diǎn)，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x是雙曲線M的一條漸近線，離心率等于$\frac{3}{4}$的橢圓E與雙曲線M的焦點(diǎn)相同，求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再利用橢圓、雙曲線的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，$\frac{2}{m}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴m=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線M：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$，
∴F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
∵離心率等于$\frac{3}{4}$的橢圓E與雙曲線M的焦點(diǎn)相同，
∴c=3，a=4，b=$\sqrt{7}$，
∵P是橢圓E與雙曲線M的一個(gè)公共點(diǎn)，
∵|PF₁|+|PF₂|=8，||PF₁|-|PF₂||=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=12，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是關(guān)鍵．