Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC不是直角三角形，則下列命題正確的是①②④⑤（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC；
②若tanA：tanB：tanC=1：2：3，則A=45°；
③tanA+tanB+tanC的最小值為3$\sqrt{3}$；
④當(dāng)$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$時(shí)，則sin²C≥sinA•sinB；
⑤若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則滿足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]的A，B，C僅有一組．

Answer 1

分析 ①利用和角的正切公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和即可判斷；
②由①可得tanA=1，進(jìn)而可判斷；
③舉出反例：A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$計(jì)算即可；
④由①可得C=60°，進(jìn)而利用和差角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；
⑤由[x]的定義，結(jié)合①可確定tanA、tanB、tanC為整數(shù)，進(jìn)而可判斷．

解答 解：①由題意知：A≠$\frac{π}{2}$，B≠$\frac{π}{2}$，C≠$\frac{π}{2}$，且A+B+C=π，
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
=-tanC（1-tanAtanB）
=-tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故正確；
②由tanA：tanB：tanC=1：2：3，
設(shè)tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，
∴tanA=tan[π-（B+C）]
=-tan（B+C）
=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$
=-$\frac{2x+3x}{1-6{x}^{2}}$=x，
整理得：x²=1，解得：x=1或x=-1，
∴tanA=1或tanA=-1（不合題意，舍去），
又A為三角形的內(nèi)角，則A=45°，故正確；
③當(dāng)A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$時(shí)，tanA+tanB+tanC=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$＜3$\sqrt{3}$，故錯(cuò)誤；
④當(dāng)$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$時(shí)，$\sqrt{3}$tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，
即tanC=$\sqrt{3}$，C=60°，此時(shí)sin²C=$\frac{3}{4}$，
sinA•sinB=sinA•sin（120°-A）
=sinA•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A
=$\frac{1}{2}$sin（2A-30°）$+\frac{1}{4}$
$≤\frac{3}{4}$，則sin²C≥sinA•sinB，故正確；
⑤∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有[x]≤x，
∴[tanA]+[tanB]+[tanC]≤tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，
又由①可知tanA、tanB、tanC為整數(shù)，
不妨設(shè)tanA＜tanB＜tanC，則tanA、tanB、tanC分別為1、2、3，故正確；
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了和角的正切公式，反證法，誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．