Question

3．已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)A（2，3）在橢圓C₁上，過(guò)點(diǎn)A的直線L與拋物線C₂：x²=4y交于B，C兩點(diǎn)，拋物線C₂在點(diǎn)B，C處的切線分別為l₁，l₂，且l₁與l₂交于點(diǎn)P．
（Ⅰ） 求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點(diǎn)P？若存在，指出這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)P的坐標(biāo)）； 若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（II）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．設(shè)直線AB的方程為：y-3=k（x-2），與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx+8k-12=0．由拋物線C₂：x²=4y，可得${y}^{′}=\frac{1}{2}x$．可得 C₂在點(diǎn)B處的切線l₁的方程為：$y=\frac{1}{2}{x}_{1}•x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$．C₂在點(diǎn)C處的切線l₂的方程為：$y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$．聯(lián)立P（2k，2k-3）．由于|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，可得點(diǎn)P在橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上．代入可得7k²-12k-3=0．由△₁＞0，可得方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=16，b²=12．
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
設(shè)直線AB的方程為：y-3=k（x-2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-2k}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化為x²-4kx+8k-12=0．
△=16k²-4（8k-12）＞0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-12．
由拋物線C₂：x²=4y，可得${y}^{′}=\frac{1}{2}x$．
∴C₂在點(diǎn)B處的切線l₁的方程為：$y=\frac{1}{2}{x}_{1}•x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$．．
同理C₂在點(diǎn)C處的切線l₂的方程為：$y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}}\\{y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=2k-2}\end{array}\right.$，∴P（2k，2k-3）．
∵|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，
∴點(diǎn)P在橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上．
∴$\frac{（2k）^{2}}{16}+\frac{（2k-3）^{2}}{12}=1$．
化簡(jiǎn)得7k²-12k-3=0．（*）
由△₁=12²+4×21＞0，可得方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線與拋物線相切切線問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題