Question

14．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，G，H分別為DA₁，CA₁中點
（1）求證：GH∥平面CDD₁C₁
（2）求證：BC₁⊥平面A₁CD
（3）求三棱錐A-BCG的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位線的性質(zhì)，證明GH∥CD，即可證明GH∥平面CDD₁C₁
（2）連接B₁C，證明：BC₁⊥平面A₁B₁CD，即可證明BC₁⊥平面A₁CD
（3）三棱錐A-BCG的體積，等于三棱錐G-ABC的體積．

解答 （1）證明：∵G，H分別為DA₁，CA₁中點，
∴GH∥CD，
∵GH?平面CDD₁C₁，CD?平面CDD₁C₁，
∴GH∥平面CDD₁C₁
（2）證明：連接B₁C，則B₁C⊥BC₁，
∵BC₁⊥CD，CD∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD
即BC₁⊥平面A₁CD；
（3）解：三棱錐A-BCG的體積，等于三棱錐G-ABC的體積，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查線面平行與垂直，考查三棱錐A-BCG的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．