Question

10．已經(jīng)平行四邊形ABCD中，AB=4，E為AB的中點，且△ADE是等邊三角形，沿DE把△ADE折起至A₁DE的位置，使得A₁C=4．（1）F是線段A₁C的中點，求證：BF∥平面A₁DE；
（2）求證：A₁D⊥CE；
（3）求點A₁到平面BCDE的距離．

Answer 1

分析 （1）取DA₁的中點G，連接FG、GE，通過證明BF∥EG，利用直線與平面平行的判定定理證明BF∥平面A₁DE．
（2）取DE的中點H，連接A₁H、CH，通過證明A₁H⊥面DEBC，然后通過平面與平面垂直的判定定理證明面A₁DE⊥面DEBC，即可證明A₁D⊥CE．
（3）利用（2）的結果，直接求求點A₁到平面BCDE的距離．

解答 （1）證明：取DA₁的中點G，連接FG、GE，
∵F為A₁C中點，
∴GF∥DC，且GF=$\frac{1}{2}$DC，
∵E為平行四邊形ABCD邊AB的中點，
∴EB∥DC，且EB=$\frac{1}{2}$DC，
∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四邊形BFGE是平行四邊形，
∴BF∥EG，
∵EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE
∴BF∥平面A₁DE…（4分）
（2）證明：取DE的中點H，連接A₁H、CH，
∵AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，
∴△DAE為等邊三角形，即折疊后△DA₁E也為等邊三角形，
∴A₁H⊥DE，且A₁H=$\sqrt{3}$，
在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°
根據(jù)余弦定理，可得HC=$\sqrt{13}$，
在△A₁HC中，A₁H=$\sqrt{3}$，HC=13，A₁C=4，
∴A₁C²=A₁H²+HC²，即A₁H⊥HC
又∵DE∩HC=H，∴A₁H⊥面DEBC
又∵A₁H?面A₁DEM
∴面A₁DE⊥面DEBC，
∵CE⊥DE，
∴CE⊥面A₁DE，
∵A₁D?面A₁DE，
∴A₁D⊥CE…（10分）
（3）解：由第（2）問知A₁H⊥面DEBC，∴點A₁到平面BCDE的距離為A₁H=$\sqrt{3}$．…（13分）

點評 本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理的應用，點A₁到平面BCDE的距離的求法，考查空間想象力以及計算能力．