Question

15．已知橢圓C：x²+2y²=4
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)O為原點，若點A在直線y=2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB求線段AB長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：x²+2y²=4化為標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求出a，c，即可求橢圓C的離心率；
（2）先表示出線段AB長度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答 解：（1）橢圓C：x²+2y²=4化為標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設(shè)A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，則
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴tx₀+2y₀=0，
∴t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵x₀²+2y₀²=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+（y₀-2）²
=x₀²+y₀²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=x₀²+$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{2（4-{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4），
因為$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），
當且僅當$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$=$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=4時等號成立，
所以|AB|²≥8．
∴線段AB長度的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．