Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2mx+2，x∈[-5，5]
（1）當(dāng)m=-2時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求實數(shù)m的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，設(shè)g（x）=f（x）+n-5，求實數(shù)n滿足什么條件時函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，4]上有且僅有一個零點？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=-2時，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得f（x）的最大值和最小值；
（2）函數(shù)f（x）=x²+2mx+2的圖象是開朝上且以直線x=-m為對稱軸的拋物線，若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤-5，或m≥5；
（3）g（x）的圖象是開朝上且以直線x=2為對稱軸的拋物線，故若g（x）在區(qū)間[0，4]上有且僅有一個零點，則△=16-4（n-3）=0．

解答： 解：（1）當(dāng)m=-2時，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，x∈[-5，5]，
則f（x）在[-5，2]上為減函數(shù)，在[-5，5]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=2時，f（x）的最小值為-2，
當(dāng)x=-5時，f（x）的最大值為47，
（2）函數(shù)f（x）=x²+2mx+2的圖象是開朝上且以直線x=-m為對稱軸的拋物線，
若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，
則m≤-5，或m≥5，
故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-5]∪[5，+∞）
（3）在（1）的條件下，
g（x）=f（x）+n-5=x²-4x+n-3=（x-2）²-7+n，
由g（x）的圖象是開朝上且以直線x=2為對稱軸的拋物線，
故若g（x）在區(qū)間[0，4]上有且僅有一個零點，
則△=16-4（n-3）=0，
解得：n=7

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．