Question

已知F₁、F₂為為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個焦點，焦距|F₁F₂|=6，過左焦點F₁垂直于x軸的直線，與雙曲線C相交于A，B兩點，且△ABF₂為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)T為直線x=1上任意一點，過右焦點F₂作TF₂的垂線交雙曲線C與P，Q兩點，求證：直線OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）；
（3）是否存在過右焦點F₂的直線l，它與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于R，S兩點，且使得△F₁RS的面積為6

2

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得2c=6，|AF1|=2

3

，|AF2|=4

3

，從而2a=||AF₂|-|AF₁||=2

3

，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中點T′（x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，把P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）分別代入雙曲線C的方程

x2

3

-

y2

6

=1，利用點差法能推導(dǎo)出T為PQ的中點．
（3）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線l：x=my+3，R（x_R，y_R），S（x_S，y_S），分別求出y_R=

3 2

1- 2 m

，y_S=

-3 2

1+ 2 m

，由此推導(dǎo)出直線l的方程．

解答： （1）解：∵F₁、F₂為為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個焦點，焦距|F₁F₂|=6，
∴2c=6，即c=3，
設(shè)|AF₂|=2x，則36+x²=4x²，解得|AF1|=2

3

，|AF2|=4

3

，
∴2a=||AF₂|-|AF₁||=2

3

．∴a=

3

，
∴b²=9-3=6，
∴雙曲線C的方程為

x2

3

-

y2

6

=1．
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中點T′（x₀，y₀），
則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
把P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）分別代入雙曲線C的方程

x2

3

-

y2

6

=1，
得

2x12-y12=6 2x22-y22=6

，
兩式相減，得2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴4x₀（x₁-x₂）-2y₀（y₁-y₂）=0，
∴k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=

2x0

y0

=-

1

kTF2

=

2

yT

，
∵T為直線x=1上任意一點，過右焦點F₂作TF₂的垂線交雙曲線C與P，Q兩點，
∴kOT′=

y0

x0

=

yt

1

=k_OT，
∴點T′與點T重合，∴T為PQ的中點，
∴直線OT平分線段PQ．
（3）解：假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線l：x=my+3，R（x_R，y_R），S（x_S，y_S），
聯(lián)立

y= 2 x x=my+3

，得y_R=

3 2

1- 2 m

，
聯(lián)立

y=- 2 x x=my+3

，得y_S=

-3 2

1+ 2 m

，
S△F1RS=

1

2

×6×|yR-yS|=6

2

，
∴|

3 2

1- 2 m

+

3 2

1+ 2 m

|=2

2

，
解得m=±

2

，∴直線lx=±

2

y+3．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線OT平分線段PQ的證明，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．