Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，na_n+1-（n+1）a_n=1（n∈N₊）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}•{（\frac{8}{9}）^n}（n∈{N_+}）$，求數(shù)列{b_n}的最大項．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．采用累加法即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知b_n=n×（$\frac{8}{9}$）ⁿ，n∈N₊，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得數(shù)列{b_n}的最大項．

解答 解：（1）已知式可化為$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則當n≥2時，$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n}}{n-2}$=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{2}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{2}$，
以上各式相加：$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{n}$，
整理得：a_n=2n-1，
當n=1時，顯然成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；（n∈N₊）
（2）由${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}•{（\frac{8}{9}）^n}（n∈{N_+}）$，則b_n=n×（$\frac{8}{9}$）ⁿ，n∈N₊，
設(shè)g（x）=x（$\frac{8}{9}$）^x，x＞0，求導(dǎo)g′（x）=（$\frac{8}{9}$）^x+x（$\frac{8}{9}$）^xln（$\frac{8}{9}$），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$，8＜-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$＜9，
由g（x）在（0，-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$）單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{ln\frac{8}{9}}$，+∞）單調(diào)遞減，
且${b_8}={b_9}=\frac{8^9}{9^8}$，
∴數(shù)列{b_n}的單調(diào)性得最大項為${b_8}={b_9}=\frac{8^9}{9^8}$…（12分）．

點評 本題考查數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，數(shù)列通項公式的求法，考查“累加法”的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．