Question

5．已知S_n=2n²+4n，設(shè){$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：$\frac{1}{6}$≤T_n≤$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 由條件，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由裂項(xiàng)相消求和可得T_n，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：由S_n=2n²+4n，
則$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
由$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）為遞增數(shù)列，
則n=1時(shí)，取得最小值$\frac{1}{6}$，
且$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{8}$．
即有$\frac{1}{6}$≤T_n＜$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．