Question

8．一艘輪船從A出發(fā)，沿南偏東70°的方向航行40海里后到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東35°的方向航行了40$\sqrt{2}$海里到達海島C．如果下次航行直接從A出發(fā)到C，此船航行的方向和路程（海里）分別為（　�。�

• A． 北偏東80°，20（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）
• B． 北偏東65°，20（$\sqrt{3}$+2）
• C． 北偏東65°，20（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）
• D． 北偏東80°，20（$\sqrt{3}$+2）

Answer 1

分析 在△ABC中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40，BC=40$\sqrt{2}$，故可由余弦定理求出邊AC的長度，在△ABC中，可由正弦定理建立方程$\frac{BC}{sin∠CAB}$=$\frac{AC}{sin105°}$，求出∠CAB．

解答 解：由題意，在△ABC中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40，BC=40$\sqrt{2}$
根據(jù)余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=40²+（40$\sqrt{2}$）²-2×40×40$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$=3200+1600$\sqrt{3}$，
∴AC=20（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．
根據(jù)正弦定理$\frac{BC}{sin∠CAB}$=$\frac{AC}{sin105°}$，∴∠CAB=45°，
∴此船航行的方向和路程（海里）分別為北偏東65°、20（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．
故選：C．

點評 本題是解三角形在實際問題中的應(yīng)用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知識，解題的關(guān)鍵是將實際問題中的距離、角等條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中，正弦定理與余弦定理求角與邊，解三角形在實際測量問題-遙測中有著較為廣泛的應(yīng)用，此類問題求解的重點是將已知的條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中方便利用解三角形的相關(guān)公式與定理，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想．