Question

16．某科技博覽會展出的智能機器人有 A，B，C，D 四種型號，每種型號至少有 4 臺．要求每 位購買者只能購買1臺某種型號的機器人，且購買其中任意一種型號的機器人是等可能的．現(xiàn)在有 4 個人要購買機器人．
（Ⅰ）在會場展覽臺上，展出方已放好了 A，B，C，D 四種型號的機器人各一臺，現(xiàn)把他們 排成一排表演節(jié)目，求 A 型與 B 型相鄰且 C 型與 D 型不相鄰的概率；
（Ⅱ）設(shè)這 4 個人購買的機器人的型號種數(shù)為ξ，求ξ 的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （I） 四中機器人的總的排序為${A}_{4}^{4}$，A 型與 B 型相鄰且 C 型與 D 型不相鄰只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交換．
（II）ξ的可能取值為1，2，3，4．P（ξ=1）=$\frac{{A}_{4}^{1}}{{4}^{4}}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}（{2}^{4}-2）}{{4}^{4}}$，P（ξ=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{4}^{4}}$，即可得出．

解答 解：（I） A 型與 B 型相鄰且 C 型與 D 型不相鄰只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交換．
因此概率P=$\frac{{A}_{2}^{2}•{A}_{2}^{2}}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{6}$．
（II）ξ的可能取值為1，2，3，4．
P（ξ=1）=$\frac{{A}_{4}^{1}}{{4}^{4}}$=$\frac{4}{256}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}（{2}^{4}-2）}{{4}^{4}}$=$\frac{84}{256}$，P（ξ=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{24}{256}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{4}^{4}}$=.$\frac{144}{256}$
∴

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{4}{256}$	$\frac{84}{256}$	$\frac{144}{256}$	$\frac{24}{256}$

∴E（ξ）=1×$\frac{4}{256}$+2×$\frac{84}{256}$+4×$\frac{24}{256}$+3×$\frac{144}{256}$=$\frac{175}{64}$．

點評 本題考查了排列與組合的計算公式、相互獨立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．