Question

17．下面有五個命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
③函數(shù)f（x）=|sin（x+$\frac{π}{3}$）|（x∈R），在區(qū)間[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]上是增函數(shù)；
④若動直線x=a與函數(shù)f（x）=sinx和g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，則|MN|的最大值為1．
其中真命題的序號是①③．

Answer 1

分析 利用平方差公式和倍角公式化簡函數(shù)解析式，并求出周期，可判斷①；寫出終邊在y軸上的角的集合，可判斷②；分析函數(shù)在區(qū)間[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]上的單調(diào)性，可判斷③；求出|MN|的表達式，進而求出|MN|的最大值，可判斷④．

解答 解：函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，故函數(shù)的最小正周期是π，故①為真命題；
終邊在y軸上的角的集合是{α|α=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}，故②為假命題；
當x∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]時，x+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{3π}{2}$]，此時sin（x+$\frac{π}{3}$）＜0，故函數(shù)f（x）=|sin（x+$\frac{π}{3}$）|=-sin（x+$\frac{π}{3}$），
由y=sin（x+$\frac{π}{3}$）在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]為減函數(shù)，可得函數(shù)f（x）=在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]為增函數(shù)，故③為真命題；
若動直線x=a與函數(shù)f（x）=sinx和g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，則|MN|=|sinx-cosx|=|$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）|，其最大值為$\sqrt{2}$，故④為假命題；
故真命題的序號是：①③，
故答案為：①③．

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)的化簡，求值，周期，單調(diào)性，最值等知識點，是三角函數(shù)的綜合應用，難度中檔．