Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，記和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)為M（A）．對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數(shù)b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數(shù)列，則M（B）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：把 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成圖表，嚴(yán)格利用題目給出的新定義，采用列舉法來進(jìn)行求解即可．

解答： 解：對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數(shù)b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數(shù)列，
則 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示圖表：
b₁+b₂，b₂+b₃，b₃+b₄，…，b_n-1+b_n，
b₁+b₂，b₂+b₄，b₃+b₅，…，b_n-2+b_n，
…，…，…，
b₁+b_n-2，b₂+b_n-1，b₃+b_n，
b₁+b_n-1，b₂+b_n，
b₁+b_n，
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴b₁+b₄=b₂+b₃，b₁+b₅=b₂+b₄，…，b₁+b_n=b₂+b_n-1．
∴第二列中只有 b₂+b_n 的值和第一列不重復(fù)，即第二列剩余一個不重復(fù)的值，
同理，以后每列剩余一個與前面不重復(fù)的值，
∵第一列共有n-1個不同的值，后面共有n-1列，
∴所有不同的值有：n-1+n-2=2n-3，故M（B）=2n-3，
故答案為2n-3．

點(diǎn)評：本題是新定義題，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確列出 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值表是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．