Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，若S_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前2016項和為$\frac{504}{2017}$．

Answer 1

分析 S_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，可得$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$．利用“累乘求積”可得：S_n=n（n+1）．再利用遞推關(guān)系可得：a_n=2n．可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵S_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$．又a₁=2，
∴n≥2時，S_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$$•\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n-2}}$$•\frac{{S}_{n-2}}{{S}_{n-3}}$•…•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}•\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}•{S}_{1}$
=$\frac{n+1}{n-1}•\frac{n}{n-2}•\frac{n-1}{n-3}$•…•$\frac{4}{2}$×$\frac{3}{1}$×2=n（n+1）．n=1時也成立．
∴S_n=n（n+1）．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前2016項和=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2017}）$=$\frac{504}{2017}$．
故答案為：$\frac{504}{2017}$．

點評 本題考查了“累乘求積”方法、遞推關(guān)系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．