Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+αcost}\\{y=2+αsint}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，a＞0），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=4sinθ．
（1）試將曲線C₁與C₂化為直角坐標(biāo)系xOy中的普通方程，并指出兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，兩曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁消去參數(shù)t，得到曲線C₁的普通方程為（x-3）²+（y-2）²=a²．由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，能求出曲線C₂的普通方程為x²+（y-2）²=4．曲線C₁是以C₁（3，2）為圓心，r₁=a為半徑的圓，曲線C₂是以（0，2）為圓心，r₂=2為半徑的圓，由此能當(dāng)兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=3時(shí)，曲線C₁為（x-3）²+（y-2）²=9，聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^2}+{（y-2）^2}=9\\{x^2}+{（{y-2}）^2}=4\end{array}\right.$，得兩曲線的交點(diǎn)A，B所在直線方程為$x=\frac{2}{3}$，曲線x²+（y-2）²=4的圓心到直線$x=\frac{2}{3}$的距離為$d=\frac{2}{3}$，由此能求出|AB|．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+αcost}\\{y=2+αsint}\end{array}}\right.$消去參數(shù)t，
得到曲線C₁的普通方程為（x-3）²+（y-2）²=a²．
由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ．
故曲線C₂：ρ=4sinθ化為平面直角坐標(biāo)系中的普通方程為x²+（y-2）²=4．
曲線C₁是以C₁（3，2）為圓心，r₁=a為半徑的圓，
曲線C₂是以（0，2）為圓心，r₂=2為半徑的圓，
|C₁C₂|=3，∴當(dāng)兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)，|a-2|≤3≤a+2，解得1≤a≤5，
∴當(dāng)兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍為[1，5]．
（2）當(dāng)a=3時(shí)，曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+3cost}\\{y=2+3sint}\end{array}}\right.$，即（x-3）²+（y-2）²=9，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^2}+{（y-2）^2}=9\\{x^2}+{（{y-2}）^2}=4\end{array}\right.$消去y，得兩曲線的交點(diǎn)A，B所在直線方程為$x=\frac{2}{3}$．
曲線x²+（y-2）²=4的圓心到直線$x=\frac{2}{3}$的距離為$d=\frac{2}{3}$，
所以$|AB|=2\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的普通方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．