Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有且僅有兩個(gè)不同的解，求a的值；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＜0時(shí)，求G（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的意義，解方程即可．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值即可．
（Ⅲ）求出函數(shù)G（x）的表達(dá)式，討論對(duì)稱性的以及a的取值范圍進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若|f（x）|=g（x），
則若|x²-1|=a|x-1|，
即|x-1||x+1|=a|x-1|，
∴x=1或|x+1|=a，
∴a=0或a=2，
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立等價(jià)為x²-1≥a|x-1|，
①若x=1，則不等式恒成立，
②若x≠1，則a≤（$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$），
∵y=$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，}&{x＞1}\\{-x-1，}&{x＜1}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$＞2，當(dāng)x＜1時(shí)，$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$＞-2，
∴$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$＞-2，即a≤-2．
（Ⅲ）若a＜0時(shí)，求G（x）=|f（x）|+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a-1，}&{-2≤x≤-1}\\{-{x}^{2}-ax+a+1，}&{-1＜x＜1}\\{{x}^{2}+ax-a-1，}&{1≤x≤2}\end{array}\right.$，
①若$\frac{a}{2}$≤-2，即a≤-4，則-$\frac{a}{2}$≥2，
∴G（x）在[-2，-1]上遞增，（-1，1）上遞增，[1，2]上遞減，
∴G（x）_max=G（1）=0．
②若-2＜$\frac{a}{2}$＜-1，即-4＜a＜-2，則1＜-$\frac{a}{2}$＜2，
∴G（x）在[-2，$\frac{a}{2}$]上遞減，在（$\frac{a}{2}$，-1）遞增，（-1，1）上遞增，（1，-$\frac{a}{2}$）遞減，[-$\frac{a}{2}$，2）上遞增，
∴G（-2）=3+3a，G（1）=0，G（2）=3+a，
∴當(dāng)-4＜a≤-3時(shí)，G（x）_max=G（1）=0．
當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，G（x）_max=G（2）=3+a．
③若-1≤$\frac{a}{2}$＜0，即-2≤a＜0，則0＜-$\frac{a}{2}$≤1，
則，G（x）在[-2，-1]上遞增，（-1，-$\frac{a}{2}$）上遞增，（-$\frac{a}{2}$，1）上遞減，[1，2]上遞減，
又G（-2）=3+3a，G（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+1，G（2）=3+a，
由于3+a＞$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+1，
∴G（x）_max=G（2）=3+a．
綜上，G（x）_max$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{a≤-3}\\{3+a，}&{-3＜a＜0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值，以及利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．