Question

14．等差數(shù)列{a_n}中，已知a_n＞0，a₁+a₂+a₃=15，且a₁+2，a₂+5，a₃+13構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)可得a_n．再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出b_n．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由已知得：a₁+a₂+a₃=3a₂=15，即a₂=5，
又（5-d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=-13（舍），
a₁=a₂-d=3，
∴a_n=a₁+（n-1）×d=2n+1，
又b₁=a₁+2=5，b₂=a₂+5=10，
∴q=2
∴${b_n}=5•{2^{n-1}}$．
（2）∵${T_n}=5[3+5•2+7•{2^2}+…+（2n+1）•{2^{n-1}}]$，
$2{T_n}=5[3•2+5•{2^2}+7•{2^3}+…+（2n+1）•{2^n}]$，
兩式相減得$-{T_n}=5[3+2•2+2•{2^2}+…+2•{2^{n-1}}-（{2n+1}）•{2^n}]=5[（1-2n）{2^n}-1]$，
則${T_n}=5[（2n-1）{2^n}+1]$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．