Question

5．已知函數$f（x）=\frac{{2\sqrt{|x|}}}{{{e^{x-1}}}}$，若關于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有3個不相等的實根，則m的取值范圍是（-∞，1）∪{2}．

Answer 1

分析 求函數的導數，判斷函數的取值情況，作出f（x）的圖象，設t=f（x），將方程轉化為一元二次方程，解方程，利用根的分布建立條件關系即可得到結論．

解答 解：化簡可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{x}}{{e}^{x-1}}，x≥0}\\{\frac{2\sqrt{-x}}{{e}^{x-1}}，x＜0}\end{array}\right.$，
當x≥0時，f（x）≥0，
f′（x）=$\frac{（2\sqrt{x}）′{e}^{x-1}-2\sqrt{x}（{e}^{x-1}）′}{{e}^{2x-2}}$=$\frac{1-2x}{\sqrt{x}•{e}^{x-1}}$，
當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，當x＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
故當x=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）有極大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{{e}^{-\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{2e}$；
當x＜0時，f′（x）=$\frac{-1+2x}{\sqrt{-x}•{e}^{x-1}}$＜0，f（x）為減函數，
作出函數f（x）對應的圖象如圖：
∴函數f（x）在（0，+∞）上有一個最大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2e}$．
設t=f（x），則關于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0，
即為t²-mt+m-1=0，解得t=1，或t=m-1．
當t=1時，方程t=f（x）有3個不等實根，
要使關于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有3個不相等的實數根，
即有t=m-1=1，即m=2或無實數根．
當m-1＜0，即m＜1時，t=m-1無實數根．
則m的取值范圍是（-∞，1）∪{2}．
故答案為：（-∞，1）∪{2}．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了利用函數的導函數分析函數的單調性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉化為一元二次方程，是解決本題的關鍵．