Question

19．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對(duì)m∈R，直線與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；
（2）若定點(diǎn)P（1，1）滿足$\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP}$，求直線的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l的方程可得直線經(jīng)過定點(diǎn)H（1，1），而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，命題得證．
（2）由題意定點(diǎn)P（1，1）滿足$\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP}$，可得x₁，x₂，①再把直線方程y-1=m（x-1）代入圓C，化簡(jiǎn)可得${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{1+{m^2}}}$②，由①②求得m的值，從而求得直線l的方程．

解答 （1）證明：直線l：m（x-1）-y+1=0，即y-1=m（x-1），恒經(jīng)過（1，1）
又點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線和圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)；    （5分）
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}{x_2}+2{x_1}=3\\{y_2}+2{y_1}=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{{3+{m^2}}}{{1+{m^2}}}\\{x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{{1+{m^2}}}\end{array}\right.$，
把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C：x²+（y-1）²=5，化簡(jiǎn)可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
得${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{1+{m^2}}}$，解得m=±1，
所以所求直線方程為x-y=0，x+y-2=0．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．