Question

9．雙曲線的虛軸長為4，離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}，{F_1}，{F_2}$分別是它的左右焦點，若過F₁的直線與雙曲線的左支交與A、B兩點，且|AB|是|AF₁|，|AF₂|的等差中項，則|BF₁|等于（　�。�

• A． $8\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 由題意及雙曲線的方程知雙曲線的虛軸長為4，即2b=4，利用離心率的知求解出a的值，再利用|AF₁|，|AF₂|的等差中項，得到|AB|，即可求出|BF₁|．

解答 解：由題意可知2b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，于是a=2$\sqrt{2}$，
∵|AB|是|AF₁|，|AF₂|的等差中項，
∴2|AB|=|AF₁|+|AF₂|，
∵2|AF₁|+2|BF₁|=|AF₁|+|AF₂|，
∴2|BF₁|=|AF₂|-|AF₁|=2a=2$\sqrt{2}$，
∴|BF₁|=2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 此題重點考查了雙曲線方程的虛軸的概念及離心率的概念，還考查了利用雙曲線的第一定義求解出|AB|的大小．