Question

9．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個(gè)不動點(diǎn)，已知f（x）=x²+ax+4在[1，3]恒有兩個(gè)不同的不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍$[-\frac{10}{3}，-3）$．

Answer 1

分析 不動點(diǎn)實(shí)際上就是方程f（x₀）=x₀的實(shí)數(shù)根．二次函數(shù)f（x）=x²+ax+4有不動點(diǎn)，是指方程x=x²+ax+4有實(shí)根．即方程x=x²+ax+4有兩個(gè)不同實(shí)根，然后根據(jù)根列出不等式解答即可．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）=x²+ax+4在[1，3]恒有兩個(gè)不同的不動點(diǎn)，得x=x²+ax+4在[1，3]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即x²+（a-1）x+4=0在[1，3]有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令g（x）=x²+（a-1）x+4．在[1，3]有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}g（1）≥0\\ g（3）≥0\\ 1＜\frac{1-a}{2}＜3\\{（a-1）}^{2}-16＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a+4≥0\\ 3a+10≥0\\ 1＜\frac{1-a}{2}＜3\\{（a-1）}^{2}-16＞0\end{array}\right.$
解得：a∈$[-\frac{10}{3}，-3）$；
故答案為：$[-\frac{10}{3}，-3）$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，解答該題時(shí)，借用了一元二次方程的根的判別式與根這一知識點(diǎn)．