Question

13．已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），點F₁（-1，0）、C（-2，0）分別是橢圓M的左焦點、左頂點，過點F₁的直線l（不與x軸重合）交M于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得點B在以線段F₁C為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁（-1，0），C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$，即可求出橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）通過設B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），利用$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$=$2+3{x_0}+{x_0}^2+{y_0}^2$=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$，進而可得結論．

解答 解：（Ⅰ）由F₁（-1，0），C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$．…（4分）
所以橢圓M的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）設B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），則$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1$，…（6分）
因為F₁（-1，0），C（-2，0），
所以$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$=$2+3{x_0}+{x_0}^2+{y_0}^2$
=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$…（9分）
解得：x₀=-2或-10…（10分）
又因為-2＜x₀＜2，所以點B不在以F₁C為直徑的圓上，
即不存在直線點l，使得點B在以線段F₁C為直徑的圓上．…（12分）

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．