Question

4．某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y（單位：元/千克）與銷售價(jià)格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式$y=\frac{m}{x-3}+8{（{x-6}）^2}$，其中3＜x＜6，m為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．
（Ⅰ） 求m的值；
（Ⅱ） 若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將x=5時(shí)y=11代入函數(shù)解析式計(jì)算即得m的值；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）可知$y=\frac{6}{x-3}+8{（{x-6}）^2}$，利用“利潤=銷售收入-成本”代入計(jì)算可知利潤$f（x）=（{x-3}）[{\frac{6}{x-3}+8{{（{x-6}）}^2}}]=6+8（{{x^3}-15{x^2}+72x-108}）$，通過求導(dǎo)考查f（x）在區(qū)間（3，6）上的單調(diào)性，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)殇N售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克，所以$\frac{m}{2}+8=11⇒m=6$；…．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知該商品每日的銷售量$y=\frac{6}{x-3}+8{（{x-6}）^2}$，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：$f（x）=（{x-3}）[{\frac{6}{x-3}+8{{（{x-6}）}^2}}]=6+8（{{x^3}-15{x^2}+72x-108}）$…．（8分）
f'（x）=24（x²-10x+24）=24（x-4）（x-6），令f'（x）=0得x=6或x=6（舍去）
f（x）在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（4，6）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=4時(shí)f（x）取最大值f（4）=38…（12分）

點(diǎn)評 本題考查是一道關(guān)于函數(shù)的簡單應(yīng)用題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．