Question

2．在用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{4}$	π	$\frac{7π}{4}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{13π}{4}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（Ⅰ）請將上表空格中處所缺的數據填寫在答題卡的相應位置上，并直接寫出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{3}$，再將所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的圖象的方法，將上表數據補充完整，直接寫出函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，以及正弦函數的圖象的性質，得出結論．

解答 解：（Ⅰ）根據表中已知數據可得：A=3，ωπ+φ=$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得ω=$\frac{2}{3}$，φ=-$\frac{π}{6}$，數據補全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{4}$	π	$\frac{7π}{4}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{13π}{4}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

且函數表達式為f（x）=3sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）函數y=3sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{3}$（縱坐標不變），得到3sin（2x-$\frac{π}{6}$），
再將所得函數的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到g（x）=3sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得g（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ$-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的圖象，利用了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象的對稱性，屬于中檔題．