【題目】如圖，在底面為等邊三角形的斜三棱柱中， ，四邊形為矩形，過作與直線平行的平面交于點.

(1)證明: ；

(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值 .

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，推導出，由四邊形為平行四邊形，得為的中位線，從而為的中點，由此能證明；

（2）過作平面，垂足為，連接，以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

解:(1)如圖，

連接交于點，連接.

因為平面平面，平面

平面，所以.

又四邊形為平行四邊形，

所以為的中點，所以為的中位線，所以為的中點.

又為等邊三角形，所以.

(2)過作平面，垂足為，連接，設，

則.

因為直線與底面所成的角為，所以.

在中，因為，

所以，.

為平面平面，

所以，

四邊形為矩形，所以，

因為，所以.

因為平面平面，所以

平面.

因為平面，所以.

又為等邊三角形，所以為的中點.

以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖.

則，，，.

因為，

所以，

因為，

所以，

，，

.

設平面的法向量為.

由，得，

令，得，

所以平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，

由，得，

令，得，

所以平面的一個法向量為.

所以，

因為所求二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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表1

皰疹面積

頻數(shù)

30

40

20

10

表2

皰疹面積

頻數(shù)

10

25

20

30

15

（1）完成圖20-3和圖20-4所示的分別注射藥物后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖，并求注射藥物后皰疹面積的中位數(shù)

（2）完成下表所示的列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認為注射藥物后的皰疹面積與注射藥物的皰疹面積有差異．（的值精確到0.01）

皰疹面積小于

皰疹面積不小于

合計

注射藥物A

______

______

注射藥物B

______

______

合計

附：．

P（）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.811

5.021

6.635

10.828

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