Question

設a，b，c是周長不超過2π的三角形邊長，判斷sina，sinb，sinc能否構成三角形？請分類討論．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：因為a，b，c是三角形的三條邊長，所以|b-c|＜a＜b+c，又a+b+c≤2π，討論①若b+c＞π，則a＜π．②若b+c≤π，則a＜π．
求出角的范圍，運用和的正弦公式，以及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調性，證得 sinb+sinc＞sina，同理得到 sinc+sina＞sinb，sina+ainb＞sinc，即可說明結論．

解答： 解：因為a，b，c是三角形的三條邊長，所以|b-c|＜a＜b+c，
又a+b+c≤2π，
①若b+c＞π，則a＜π．
∴0≤

|b-c|

2

＜

a

2

＜

π

2

＜

b+c

2

≤π-

a

2

，
∴sin

b+c

2

＞sin

a

2

，cos

b-c

2

＞cos

a

2

，
于是  sinb+sinc=2sin

b+c

2

cos

b-c

2

＞2sin

a

2

cos

a

2

=sina，
即 sinb+sinc＞sina，
同理可證 sinc+sina＞sinb，sina+ainb＞sinc，
可見 sina，sinb，sinc可構成三角形的三條邊長．
②若b+c≤π，則a＜π．
則有0≤

|b-c|

2

＜

a

2

＜

b+c

2

＜

π

2

，
即有sin

b+c

2

＞sin

a

2

，cos

b-c

2

＞cos

a

2

，
于是  sinb+sinc=2sin

b+c

2

cos

b-c

2

＞2sin

a

2

cos

a

2

=sina，
即 sinb+sinc＞sina，
同理可證 sinc+sina＞sinb，sina+ainb＞sinc，
可見 sina，sinb，sinc可構成三角形的三條邊長．
綜上，sina，sinb，sinc均可構成三角形的三條邊長．

點評：本題考查三角形的三邊關系，考查三角函數(shù)的單調性及運用，考查三角形的判定方法，屬于中檔題．