Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x-4，x≤6}\\{{a}^{x-6}，x＞6}\end{array}\right.$，設(shè)a_n=f（n），n∈N^*，若{a_n}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（2，3）．

Answer 1

分析 由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)n≤6，{a_n}是遞增數(shù)列，即3-a＞0，當(dāng)x＞7時，a＞1，并且a₇＞a₆，列方程組即可求得a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x-4，x≤6}\\{{a}^{x-6}，x＞6}\end{array}\right.$，
a_n=f（n），n∈N^*，
∴當(dāng)1≤n≤6時，a_n=（3-a）n-3；
當(dāng)n＞6時，a_n=a^n-6．
∵{a_n}是遞增數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{a＞1}\\{{a}_{7}＞{a}_{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{a＞1}\\{a＞（3-a）×6-4}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜3
故答案為：（2，3）．

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，易錯點是忽視a₇＞a₆，解題時要認真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于中檔題．