Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦點，M為橢圓上動點，有以下四個結論：
①|(zhì)MF₂|的最大值大于3；
②|MF₁|•|MF₂|的最大值為4；
③∠F₁MF₂的最大值為60°；
④若動直線l垂直y軸，交此橢圓于A、B兩點，P為l上滿足|PA|•|PB|=2的點，則點P的軌跡方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{{2{y^2}}}{3}=1$或$\frac{x^2}{6}+\frac{{2{y^2}}}{9}=1$．
以上結論正確的序號為②③④．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，左、右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
①|(zhì)MF₂|≤a+c，即可判斷出正誤；
②由|MF₁|+|MF₂|=2×2=4≥$2\sqrt{|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$，即可判斷出正誤．
③當點M取短軸的一個端點時，∠F₁MF₂取得最大值，取M$（0，\sqrt{3}）$，則tan$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出即可判斷出正誤．
④設P（x，y），A（x₁，y），B（-x₁，y），由|PA|•|PB|=2，可得|x-x₁||x+x₁|=2，即$|{x}^{2}-{x}_{1}^{2}|$=2，又$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，代入即可判斷出正誤．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，左、右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
①|(zhì)MF₂|≤a+c=3，因此不正確；
②由|MF₁|+|MF₂|=2×2=4≥$2\sqrt{|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$，可得|MF₁|•|MF₂|≤4，當且僅當|MF₁|=|MF₂|=2時取等號．因此正確．③當點M取短軸的一個端點時，∠F₁MF₂取得最大值，取M$（0，\sqrt{3}）$，則tan$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=30^°，因此∠F₁MF₂的最大值為60°，因此正確．
④設P（x，y），A（x₁，y），B（-x₁，y），∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x₁||x+x₁|=2，即$|{x}^{2}-{x}_{1}^{2}|$=2，又$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得${x}_{1}^{2}$=4$（1-\frac{{y}^{2}}{3}）$，代入可得$|{x}^{2}-4（1-\frac{{y}^{2}}{3}）|=2$，化為P的軌跡方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{{2{y^2}}}{3}=1$或$\frac{x^2}{6}+\frac{{2{y^2}}}{9}=1$，正確．
以上結論正確的序號為②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．