Question

2．已知橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的左、右焦點分別為F₁、F₂，一直線經過右焦點F₂，且與橢圓的長軸垂直，若該直線與該極坐標系中的曲線C：ρ=3交于A、B兩點，則△F₁AB的面積為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得c，橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．曲線C：ρ=3化為x²+y²=9．把x=2代入上述圓的方程解出y．利用△F₁AB的面積S=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||AB|$即可得出．

解答 解：由橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得c=$\sqrt{9-5}$=2，
∴橢圓的左、右焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
曲線C：ρ=3化為x²+y²=9．
把x=2代入上述圓的方程可得：$y=±\sqrt{5}$．
|AB|=2$\sqrt{5}$．
∴△F₁AB的面積S=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||AB|$=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、橢圓與圓的極坐標方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．