Question

圓與橢圓有很多類似的性質(zhì)，如圓的面積為πr²（r為圓的半徑），橢圓的面積為πab（a，b分別為橢圓的長(zhǎng)、短半軸的長(zhǎng)）．某同學(xué)研究了下面幾個(gè)問題：
（1）圓x²+y²=r²上一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為x₀x+y₀y=r²，類似地，請(qǐng)給出橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程（不必證明）；
（2）如圖1，TA，TB為圓x²+y²=r²的切線，A，B為切點(diǎn)，OT與AB交于點(diǎn)P，則OP•OT=r²．如圖2，TA，TB為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的切線，A，B為切點(diǎn)，OT與AB交于點(diǎn)P，請(qǐng)給出橢圓中的類似結(jié)論并證明．

（3）若過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上外一點(diǎn)M（s，t）作兩條直線與橢圓切于A，B兩點(diǎn)，且AB恰好過橢圓的左焦點(diǎn)，求證：點(diǎn)M在一條定直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．
（2）TA，TB為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的切線，A，B為切點(diǎn)，OT與AB交于點(diǎn)P，則OP•OT=a²．設(shè)A（x₀，y₀），則直線AT的方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．令y=0，得點(diǎn)T的坐標(biāo)為(

a2

x0

，0)，由此能證明OP•OT=a²．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則點(diǎn)A處的切線方程為

x1x

a2

+

y1y

b2

=1，點(diǎn)B處的切線方程為

x2x

a2

+

y2y

b2

=1，由此求出直線AB的方程，由直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)，能證明點(diǎn)M在橢圓的左準(zhǔn)線上．

解答： （1）解：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1…（2分）
（2）解：如圖2，TA，TB為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的切線，A，B為切點(diǎn)，
OT與AB交于點(diǎn)P，則OP•OT=a²…（4分）
證明：設(shè)A（x₀，y₀），則直線AT的方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．
令y=0，得x=

a2

x0

，∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(

a2

x0

，0)…（6分）
又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，0），∴OP•OT=|

a2

x0

|•|x0|=a2…（8分）
（3）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則點(diǎn)A處的切線方程為

x1x

a2

+

y1y

b2

=1，點(diǎn)B處的切線方程為

x2x

a2

+

y2y

b2

=1…（10分）
將點(diǎn)M（s，t）代入，得

x1s a2 + y1t b2 =1 x2s a2 + y2t b2 =1

，
∴直線AB的方程為

sx

a2

+

ty

b2

=1…（14分）
又∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)，∴-

sc

a2

=1，則s=-

a2

c

，
∴點(diǎn)M在橢圓的左準(zhǔn)線上．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線方程的求法，考查類似結(jié)論的敘述并證明，考查點(diǎn)在橢圓左準(zhǔn)線上的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意類比猜想能力的培養(yǎng)．