如圖，在△ABC中，AB=4，AC=1，∠BAC=60°．
（1）求BC的長(zhǎng)和sin∠ACB的值；
（2）延長(zhǎng)AB到M，延長(zhǎng)AC到N，連結(jié)MN，若四邊形BMNC的面積為3
3
，求
BM
•
CN
的最大值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：對(duì)第（1）問(wèn)，已知兩邊和這兩邊的夾角，考慮用余弦定理，再用正弦定理求sin∠ACB的值；
對(duì)第（2）問(wèn)，利用三角形面積公式“S=
1
2
absinC”，將四邊形BMNC的面積轉(zhuǎn)化為△AMN的面積與△ABC的面積之差，從而建立方程，得到|
AM
||
AN
|及
AM
•
AN
的值，將
BM
•
CN
用|
AM
|，|
AN
|表示，再探求其最大值．
解答： 解：（1）由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC
=42+12-2×4×1×cos60°=13，
∴BC=
13
．
∵sin∠BAC=sin60°=
3
2
，∴由正弦定理得
BC
sin∠BAC
=
AB
sin∠ACB
，
即
13
3
2
=
4
sin ∠ACB
，得sin∠ACB=
2
39
13
．
（2）S四邊形BMNC=S△AMN-S△ABC=
1
2
(|
AM
|
AN
-|
AB
||
AC
|)sin∠BAC=3
3
，
將|
AB
|=4，|
AC
|=1，∠BAC=60°代入上式，得|
AM
||
AN
|=16，
于是
AM
•
AN
=|
AM
||
AN
|cos∠BAC=16×
1
2
=8．
又
AB
•
AC
=|
AB
||
AC
|cos∠BAC=4×1×cos60°=2，
∴
BM
•
CN
=(
AM
-
AB
)•(
AN
-
AC
)=
AM
•
CN
+
AB
•
AC
-(
AB
•
AN
+
AM
•
AC
)
=10-(2|
AN
+
1
2
|
AM
|)≤10-2
2|
AN
|•
1
2
|
AM
|
=10-2
16
=2，即
BM
•
CN
≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)2|
AN
|=
1
2
|
AM
|，即|
AM
|=4|
AN
|時(shí)，聯(lián)立|
AM
||
AN
|=16，得
|
AM
|=8
|
AN
|=2
時(shí)，
BM
•
CN
=2，
∴
BM
•
CN
的最大值為2．
點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了正、余弦定理，已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，或已知兩角及任意一邊，可使用正弦定理；已知兩邊及這兩邊的夾角，或已知三邊，可用余弦定理．
2．向量的數(shù)量積運(yùn)算在本題中運(yùn)用較為靈活，可用于求模，求夾角，還可以通過(guò)�；蚪桥c三角形面積公式聯(lián)系．
3．運(yùn)用基本不等式求解最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”，尤其是取“=”號(hào)的條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，
BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：BD⊥EG；
（3）求三棱錐A-BED的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐A-BCDE，平面ABC⊥平面BCDE，△ABC邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面BCDE是矩形，且CD=
2
．
（Ⅰ）若點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，求證：AC∥平面BDG；
（Ⅱ）試問(wèn)點(diǎn)F在線段AB上什么位置時(shí)，二面角B-CE-F的大小為
π
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知|x-2y|=5，求證：x2+y2≥5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式m2-m＜f（x），?x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

圓與橢圓有很多類似的性質(zhì)，如圓的面積為πr2（r為圓的半徑），橢圓的面積為πab（a，b分別為橢圓的長(zhǎng)、短半軸的長(zhǎng)）．某同學(xué)研究了下面幾個(gè)問(wèn)題：
（1）圓x2+y2=r2上一點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程為x0x+y0y=r2，類似地，請(qǐng)給出橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程（不必證明）；
（2）如圖1，TA，TB為圓x2+y2=r2的切線，A，B為切點(diǎn)，OT與AB交于點(diǎn)P，則OP•OT=r2．如圖2，TA，TB為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的切線，A，B為切點(diǎn)，OT與AB交于點(diǎn)P，請(qǐng)給出橢圓中的類似結(jié)論并證明．

（3）若過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上外一點(diǎn)M（s，t）作兩條直線與橢圓切于A，B兩點(diǎn)，且AB恰好過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求證：點(diǎn)M在一條定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知階矩陣A=
12
21
，向量β=
2
2

（1）求階矩陣A的特征值和特征向量；
（2）計(jì)算A2β

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD．ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2．DD1=3，E，F(xiàn)分別是AB與D1E的中點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥DF； 
（2）求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，有一個(gè)頂點(diǎn)為A（-4，0），
2a2
c
=16．
（1）求橢圓C的方程：
（2）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）作直線l與橢圓C交于E、F兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案