Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)x∈[-π，π]時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．
（3）利用正弦函數(shù)的減區(qū)間，求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；再結(jié)合x∈[-π，π]，得出結(jié)論．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，
可得ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
即函數(shù)f（x）的值域為[-1，2]．
（3）當(dāng)x∈[-π，π]時，對于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[-π，π]，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的減區(qū)間，屬于中檔題．