Question

7．已知角φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上任意兩點(diǎn)，若|f（x₁）-f（x₂）|=2時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，再將f（x）的圖象的每個(gè)點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{3}$，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由任意角的三角函數(shù)的定義求得tanφ=-1，故可以取φ=-$\frac{π}{4}$．再根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰的2條對(duì)稱軸間的距離等于$\frac{π}{3}$，故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{3}$，由此求得ω 的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=2sin（9x+$\frac{3π}{4}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），∴角φ的終邊在第四象限，且tanφ=-1，故可以取φ=-$\frac{π}{4}$．
點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上的任意兩點(diǎn)，
若|f（x₁）-f（x₂）|=2時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$，
則函數(shù)的圖象的相鄰的2條對(duì)稱軸間的距離等于$\frac{π}{3}$，故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{3}$，故 $\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=3．
故函數(shù)的解析式為 f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$），
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù) y=2sin[3（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]=2sin（3x+$\frac{3π}{4}$）的圖象，
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{3}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）=2sin（9x+$\frac{3π}{4}$）的圖象．
因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈z），
所以 2kπ-$\frac{π}{2}$≤9x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得 $\frac{2}{9}$kπ-$\frac{5π}{36}$≤x≤$\frac{2}{9}$kπ-$\frac{π}{12}$，（k∈z），
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴y=g（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{12}$，-$\frac{π}{36}$]，[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{36}$]，[$\frac{11π}{36}$，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．