Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$與$1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是f′（x）=0的兩個根．
（Ⅰ） 求a、b、c的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=mx有三個互不相同的實(shí)根0，x₁，x₂，其中x₁＜x₂，且對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＜m（x-1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則c=0求導(dǎo)數(shù)，利用$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$與$1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是f′（x）=0的兩個根，結(jié)合韋達(dá)定理，求a、b、c的值；
（Ⅱ）利用x₁、x₂是方程x²-3x+2-m=0的兩相異的實(shí)根．可得△=9-4（2-m）＞0，即$m＞-\frac{1}{4}$，再確定函數(shù)f（x）-mx在x∈[x₁，x₂]的最大值為0，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則c=0…（1分）
所以f（x）=x³+ax²+bxf'（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$與$1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$是f'（x）=0的兩個根
則$（1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）+（1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=-\frac{2a}{3}$，得a=-3…（3分）
$（1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）×（1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=\frac{3}$，得b=2…（4分）
（II）由（Ⅰ）得f（x）=x³-3x²+2x．
依題意，方程x（x²-3x+2-m）=0有三個互不相同的實(shí)根0、x₁、x₂，…（5分）
故x₁、x₂是方程x²-3x+2-m=0的兩相異的實(shí)根．
所以△=9-4（2-m）＞0，即$m＞-\frac{1}{4}$．…（6分）
又對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＜m（x-1）成立．
特別地，取x=x₁時，f（x₁）-mx₁＜-m成立，得m＜0．…（7分）
由韋達(dá)定理，可得x₁+x₂=3＞0，x₁x₂=2-m＞0，故$0＜{x_1}＜x_2^{\;}$…（8分）
對任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₂≤0，x-x₁≥0，x＞0．…（9分）
則f（x）-mx=x（x-x₁）（x-x₂）≤0．
又f（x₁）-mx₁=0，…（10分）
所以函數(shù)f（x）-mx在x∈[x₁，x₂]的最大值為0．
于是當(dāng)m＜0時，對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＜m（x-1）恒成立．…（11分）
綜上，m的取值范圍是$（{-\frac{1}{4}，0}）$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能立，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想．