Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^-x+a，g（x）=|lnx|．若x₁，x₂滿足f（x）=g（x），則x₁•x₂的取值范圍是（$\frac{1}{e}$，1）．

Answer 1

分析 由題意，可設(shè)x₁＞1，0＜x₂＜1，則${e}^{-{x}_{1}}$+a=|lnx₁|，${e}^{-{x}_{2}}$+a=|lnx₂|，兩式相減，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：由題意，可設(shè)x₁＞1，0＜x₂＜1，
則${e}^{-{x}_{1}}$+a=|lnx₁|，${e}^{-{x}_{2}}$+a=|lnx₂|，
兩式相減可得${e}^{-{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$=|lnx₁|-|lnx₂|
=lnx₁+lnx₂=ln（x₁x₂），
由x₁＞1，0＜x₂＜1，則${e}^{-{x}_{1}}$∈（0，$\frac{1}{e}$），
${e}^{-{x}_{2}}$∈（$\frac{1}{e}$，1），則-${e}^{-{x}_{2}}$∈（-1，-$\frac{1}{e}$），
即有${e}^{-{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$∈（-1，0），
則ln（x₁x₂）∈（-1，0），
即為x₁x₂∈（$\frac{1}{e}$，1）．
故答案為：（$\frac{1}{e}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．