Question

8．設(shè)點C（x，y）是平面直角坐標(biāo)系的動點，M（2，0），以C為圓心，CM為半徑的圓交y軸于A，B兩點，弦AB的長|AB|=4．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點F（1，0）作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交曲線C于點P、Q和點K、L．設(shè)線段PQ，KL的中點分別為R、T，求證：直線RT恒過一個定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動點C的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)弦AB的長|AB|=4，建立方程，化簡可得點C的軌跡C的方程；
（2）設(shè)P、Q兩點坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點R的坐標(biāo)為$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$，可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求點R的坐標(biāo)為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．同理可得點T的坐標(biāo)為（1+2k²，-2k），進(jìn)而可確定直線RT的方程，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動點C的坐標(biāo)為（x，y），由題意得，${（x-2）^2}+{y^2}-{x^2}={（\frac{|AB|}{2}）^2}=4$，
化簡得y²=4x，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．----------------------------（6分）
（Ⅱ）設(shè)P、Q兩點坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點R的坐標(biāo)為$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$．
顯然直線l₁斜率存在且不為0，由題意可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入橢圓方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$．
所以點R的坐標(biāo)為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）． 
由題知，直線l₂的斜率為-$\frac{1}{k}$，同理可得點T的坐標(biāo)為（1+2k²，-2k）．-----------（8分）
當(dāng)k≠±1時，有$1+\frac{2}{k^2}≠1+2{k^2}$，此時直線RT的斜率${k_{RT}}=\frac{{\frac{2}{k}+2k}}{{1+\frac{2}{k^2}-1-2{k^2}}}=\frac{k}{{1-{k^2}}}$． 
所以，直線RT的方程為y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，
于是，直線RT恒過定點E（3，0）；-----------------------------------------（10分）
當(dāng)k=±1時，直線RT的方程為x=3，也過E（3，0）． 
綜上所述，直線RT恒過定點E（3，0）-------------------------------------（12分）

點評 本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線的聯(lián)立，確定直線RT的方程．