Question

20．已知偶函數(shù)f（x）對(duì)?x∈R，都有f（x-2）=-f（x），且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=2^x，則f（2013）=（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，求出f（x）是周期等于4的周期函數(shù)；然后把求f（2013）的值轉(zhuǎn)化成求f（-1）的值，代入函數(shù)的解析式，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x∈R都有f（x-2）=-f（x），
所以f（x+2-2）=-f（x+2）=-f（x+4-2）=f（x+4），
即f（x）=f（x+4），
故f（x）是周期等于4的周期函數(shù)，
又由偶函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=2^x，
可得f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（-1）=2^-1=$\frac{1}{2}$，
即f（2013）=$\frac{1}{2}$．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的周期性和奇偶性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題，解答此題的關(guān)鍵是首先求出f（x）是周期等于4的周期函數(shù)．