Question

10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y≥x-1}\\{y≤5-2x}\end{array}\right.$，（2，1）是目標(biāo)函數(shù)z=-ax+y取最大值的唯一最優(yōu)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，1]
• C． （-∞，-2）
• D． （-∞，-2]

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用2，1）是目標(biāo)函數(shù)z=-ax+y取最大值的唯一最優(yōu)解，得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值范圍．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．
則A（1，0），B（2，1），C（0，5）
由z=y-ax得y=ax+z，即直線的截距最大，z也最大．
平移直線y=ax+z，則直線的截距最大時(shí)，z也最大，
當(dāng)a=0時(shí)，y=z在C的截距最大，此時(shí)不滿足條件，
當(dāng)a＞0時(shí)，直線y=ax+z，在C處的截距最大，此時(shí)不滿足條件．
當(dāng)a＜0時(shí)，直線y=ax+z，要使，（2，1）是目標(biāo)函數(shù)z=-ax+y取最大值的唯一最優(yōu)解，
則y=ax+z在B處的截距最大，此時(shí)滿足目標(biāo)函數(shù)的斜率a小于直線BC的斜率-2，
即a＜-2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．