Question

20．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，2a₁，a₃-1，a₄+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ） 求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 若a₂，a₅分別是等比數(shù)列{b_n}的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)，求使數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n項(xiàng)和T_n$＜\frac{99}{200}$的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），利用2a₁（a₄+1）=${（{a_3}-1）^2}$化簡(jiǎn)、計(jì)算可知d=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ） 通過(guò)（Ⅰ）知數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化解不等式$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜\frac{99}{100}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
由已知可得2a₁（a₄+1）=${（{a_3}-1）^2}$，即2（1+3d+1）=（1+2d-1）²，
整理得2d²-3d-2=0，
解得：$d=-\frac{1}{2}$（舍去）或d=2，
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，n∈N^*；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
所以等比數(shù)列{b_n}的公比q=3，
于是$\{\frac{1}{b_n}\}$是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
所以${T_n}=\frac{{\frac{1}{3}×（1-{{（\frac{1}{3}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}（1-{（\frac{1}{3}）^n}）$，
由${T_n}＜\frac{99}{200}$，得$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜\frac{99}{100}$，即${（\frac{1}{3}）^n}＞\frac{1}{100}$，
則滿(mǎn)足不等式的最大正整數(shù)n=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．