Question

1．已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，再驗證是否滿足函數(shù)取得極小值的條件即可．
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立，h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
故當x=$\frac{1}{e}$時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值為-$\frac{2}{e}$．
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，
即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立?a≥2lnx+x+$\frac{3}{x}$存在x∈（0，+∞）能成立，
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當x=1時，h（x）取得最小值4．因此a≥4，

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、存在性問題的等價轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題