Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（3^2a+1）＜f（（$\frac{1}{3}$）^4-a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可將原函數(shù)變成$f（x）=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根據(jù)解析式可以看出，x增大時(shí)，f（x）減小，從而判斷出該函數(shù)為減函數(shù)，用減函數(shù)的定義證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通過作差的方法證明f（x₁）＞f（x₂）即可得出f（x）在R上單調(diào)遞減；
（2）根據(jù)f（x）為減函數(shù)，便得到3^2a+1＞3^a-4，從而根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=3^x的單調(diào)性即可得出2a+1＞a-4，解該不等式即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{{2}^{x}+1}$=$-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
可以看出該函數(shù)為減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，且$（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上為減函數(shù)；
（2）f（x）為減函數(shù)；
∴由$f（{3}^{2a+1}）＜f（（\frac{1}{3}）^{4-a}）$得：${3}^{2a+1}＞（\frac{1}{3}）^{4-a}$；
即3^2a+1＞3^a-4；
∴2a+1＞a-4；
∴a＞-5；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查分離常數(shù)法的運(yùn)用，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差法在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)中的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．