Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的定義，真數(shù)需要大于0，列不等式解得即可．
（2）函數(shù)的零點(diǎn)也是就方程的解，解方程即可，需要判斷所求的解在不在x的定義域內(nèi)．
（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，求出f（x）的最值，然后代入求解．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義：則有

1-x＞0 x+3＞0

，解之得：-3＜x＜1，
所以函數(shù)的定義域為：（-3，1）
（2）函數(shù)可化為f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3），
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，
解得x=-1±

3

，
∵x=-1±

3

∈（-3，1），
∴f（x）的零點(diǎn)是-1±

3

；
（3）函數(shù)可化為：函數(shù)可化為f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3）=log_a[-（x+1）²+4]，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，
∴l(xiāng)og_a[-（x+1）²+4]≥log_a4
即f（x）_min=log_a4，
由題知，log_a4=-2，
∴a^-2=4
∴a=

1

2

點(diǎn)評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，靈活轉(zhuǎn)化函數(shù)的形式是關(guān)鍵，屬于中檔題．