Question

16．如圖，已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=6，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)₂P與y軸交于點(diǎn)A，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，若|PQ|=1，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由|PQ|=1，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得|PF₁|-|PF₂|=2，結(jié)合|F₁F₂|=6，即a=1，c=3，由離心率公式，可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，∵|PQ|=1，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，
如圖，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得AM=AN，F(xiàn)₁M=F₁Q，PN=PQ，
∵|AF₁|=|AF₂|，
∴AM+F₁M=AN+PN+NF₂，
∴F₁M=PN+NF₂=PQ+PF₂
∴|PF₁|-|PF₂|=F₁Q+PQ-PF₂=F₁M+PQ-PF₂=PQ+PF₂+PQ-PF₂=2PQ=2，
又|F₁F₂|=6，可得c=3，a=1．
∴雙曲線的離心率是e=$\frac{c}{a}$=3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查切線長(zhǎng)定理，學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．