Question

7．如圖AC₁是棱長(zhǎng)為2的正方體，M為B₁C₁的中點(diǎn)，給出下列命題：
①AB₁與BC₁成60°角；
②若$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，面A₁MN交CD于E，則CE=$\frac{1}{3}$；
③P點(diǎn)在正方形ABB₁A₁邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且MP⊥DB₁，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)等于$\sqrt{2}$；
④E，F(xiàn)分別在DB₁和A₁C₁上，且$\frac{DE}{E{B}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}F}{F{C}_{1}}$=2，直線EF與AD₁，A₁D所成角分別是α，β，則α+β=$\frac{π}{2}$．
其中正確的命題有①③④．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)異面直線所成的角進(jìn)行求解．
②建立坐標(biāo)系，利用四點(diǎn)共面建立方程關(guān)系進(jìn)行求解，
③根據(jù)直線垂直確定P的運(yùn)動(dòng)軌跡，
④根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解即可．

解答 證明：①連接AD₁，B₁D₁，則AD₁∥BC₁，
則△AB₁D₁是正三角形，
則AD₁與AB₁所成的角即為AB₁與BC₁成的角，
即AB₁與BC₁成60°角；故①正確，

②若$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，面A₁MN交CD于E，則CE=$\frac{1}{3}$；

建立以D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，D₁A₁，D₁C₁，D₁D分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A₁（2，0，0），M（1，2，0），N（0，2，$\frac{3}{2}$），
設(shè)DE=t，則E（0，t，2），
∵A₁，M，N，E四點(diǎn)共面，
∴存在實(shí)數(shù)x，y使$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=x$\overrightarrow{{A}_{1}M}$+y$\overrightarrow{{A}_{1}N}$，
即（-2，t，2）=x（-1，2，0）+y（-2，2，$\frac{3}{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y=-2}\\{2x+2y=t}\\{\frac{3}{2}y=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\\{t=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，則DE=$\frac{4}{3}$，CE=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
故②錯(cuò)誤，
③取A₁B₁的中點(diǎn)H，BB₁的中點(diǎn)K，
連接HM，HM，HK，
則DB₁⊥HM，DB₁⊥KM，
則DB₁⊥平面HKM，
若MP⊥DB₁，則M在平面HKM中，則M∈HK，
則HK=$\sqrt{2}$HB₁=$\sqrt{2}$，即P點(diǎn)在正方形ABB₁A₁邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且MP⊥DB₁，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)等于$\sqrt{2}$正確，故③正確；

④建立如圖的空間坐標(biāo)系如圖，
則A₁（2，0，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B₁（2，2，0），
則$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（2，0，2），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，-2），
∵E，F(xiàn)分別在DB₁和A₁C₁上，且$\frac{DE}{E{B}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}F}{F{C}_{1}}$=2，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=$\frac{2}{3}$（2，2，-2）=（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
則E（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$（-2，2，0）=（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，0），
則F（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，0），
則$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{2}{3}$，0，-$\frac{2}{3}$），
則cosα=|cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$＞|=|$\frac{-\frac{4}{3}-\frac{4}{3}}{\sqrt{4+4}•\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}+（-\frac{2}{3}）^{2}}}$|=$\frac{\frac{8}{3}}{2\sqrt{2}•\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=1，
則α=0
cosβ=|cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{D{A}_{1}}$＞|=|$\frac{-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{\sqrt{4+4}•\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}+（-\frac{2}{3}）^{2}}}$|=0，
則β=$\frac{π}{2}$，即α+β=$\frac{π}{2}$，故④正確，

故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線所成角，線面垂直的位置關(guān)系等，綜合性較強(qiáng)，難度較大．