Question

19．某地植被面積 x（公頃）與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)y（℃）之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

x（公頃）	20	40	50	60	80
y（℃）	3	4	4	4	5

（1）請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=\hat bx+\hat a$；
（2）根據(jù)（1）中所求線性回歸方程，如果植被面積為200公頃，那么下降的氣溫大約是多少℃？
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）先求出五對(duì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，求出年份和人口數(shù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，把所給的數(shù)據(jù)代入公式，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，再求出a的值，從而得到線性回歸方程．
（2）（2）把當(dāng)x=200時(shí)，代入線性回歸方程，得到8.5°C，即下降的氣溫大約是多少8.5°C．

解答 解：（1）$\overline x=\frac{20+40+50+60+80}{5}=50$，$\overline y=\frac{3+4+4+4+5}{5}=4$．$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}={20^2}+{40^2}+{50^2}+{60^2}+{80^2}=14500$．
所以 $\hat b=\frac{1060-5×50×4}{{14500-5×{{50}^2}}}=0.03$，$\hat a=4-0.03×50=2.5$．
故y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=0.03x+2.5$．
（2）由（1）得：當(dāng)x=200時(shí)，$\widehaty=0.03×200+2.5=8.5$．
所以植被面積為200公頃時(shí)，下降的氣溫大約是8.5°C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預(yù)報(bào)值的求法，是一個(gè)新課標(biāo)中出現(xiàn)的新知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)在廣東的高考卷中出現(xiàn)過類似的題目，屬于基礎(chǔ)題．