Question

17．已知數(shù)列{a_n}的各項均為整數(shù)，其前n項和為S_n．規(guī)定：若數(shù)列{a_n}滿足前r項依次成公差為1的等差數(shù)列，從第r-1項起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，求出S_n，并證明：對任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
（3）若數(shù)列{a_n}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，當(dāng)n≥6時，在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為d_n的等差數(shù)列，求d_n，并探究在數(shù)列{d_n}中是否存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）若數(shù)列{a_n}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，{a_n}前6項為等差數(shù)列，從第5項起為等比數(shù)列，可得a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=2，解得a₁，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）得${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2}^{n-4}-7，n≥5}\end{array}\right.$，可見數(shù)列{a_nS_n}的最小項為a₆S₆=-6，即可證明：對任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆．
（3）由（1）知，當(dāng)n≥6時，${a}_{n}={2}^{n-5}$，由此能求出$mpg8ubh_{n}=\frac{{2}^{n-5}}{n+1}$．假設(shè)在數(shù)列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列），則（d_k）²=d_md_p，推導(dǎo)出k=m=p，這與題設(shè)矛盾．故在數(shù)列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，
∴{a_n}前6項為等差數(shù)列，從第5項起為等比數(shù)列，
∴a₆=a₁+5，a₅=a₁+4，且$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}+5}{{a}_{1}+4}$=2，解得a₁=-3，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n-4，n≤4}\\{{2}^{n-5}，n≥5}\end{array}\right.$．
（2）由（1）得${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{7}{2}n，n≤4}\\{{2}^{n-4}-7，n≥5}\end{array}\right.$，
{a_n}：-3，-2，-1，0，1，2，2²，2³，2⁴，2⁵，…，
{S_n}：-3，-5，-6，-6，-5，-3，1，9，25，…
{a_nS_n}：9，10，6，0，-5，-6，4，72，400，…，
可見數(shù)列{a_nS_n}的最小項為a₆S₆=-6，
證明：a_nS_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（n-4）（n-7），n≤5}\\{{2}^{n-5}（{2}^{n-4}-7），n≥6}\end{array}\right.$，
列舉法知當(dāng)n≤5時，（a_nS_n）_min=a₅S₅=-5；
當(dāng)n≥6時，a_nS_n=2•（2^n-5）²-7•2^n-5，n≥6，
設(shè)t=2^n-5，則a_nS_n=2t²-7t=2（t-$\frac{7}{4}$）²-7t=2（t-$\frac{7}{4}$）²-$\frac{49}{8}$≥2•2²-7•2=-6．
（3）由（1）知，當(dāng)n≥6時，${a}_{n}={2}^{n-5}$，
∵a_n+1=a_n+（n+2-1）d_n，
2^n-4=2^n-5+（n+1）d_n，∴$lgxlckt_{n}=\frac{{2}^{n-5}}{n+1}$．
假設(shè)在數(shù)列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列），
則（d_k）²=d_md_p，
∴（$\frac{{2}^{k-5}}{k+1}$）²=$\frac{{2}^{m-5}}{m+1}•\frac{{2}^{p-5}}{p+1}$，$\frac{{2}^{2k-10}}{（k+1）^{2}}=\frac{{2}^{m+p-10}}{（m+1）（p+1）}$，（*）
∵m，p，k成等差數(shù)列，∴m+p=2k，（*）式可化簡為（k+1）²=（m+1）（p+1），
即k²=mp，∴k=m=p，這與題設(shè)矛盾．
∴在數(shù)列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，考查滿足條件的三項是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．