Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4|x|+2，若f（x）在區(qū)間[a，2a+1]上的最大值為2，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題意得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，令f（x）=2可得 x=-4，或x=0，或 x=4，當-1＜a≤0時，應有2a+1≥0，當a＞0時，應有2a+1=4，從而求出a的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²-4|x|+2是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱． 
且f（x）=

x2-4x+2，x≥0 x2+4x+2，x＜0

，
令f（x）=2可得 x=-4，或x=0，或 x=4．
若f（x）在區(qū)間[a，2a+1]上的最大值為2，
∴a＜2a+1，解得a＞-1．
當-1＜a≤0時，應有2a+1≥0，由此求得-

1

2

≤a≤0．
當a＞0時，應有2a+1=4，解得 a=

3

2

．
綜上可得，a的取值范圍為[-

1

2

 0]∪{

3

2

}，
故答案為[-

1

2

，0]∪{

3

2

}．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)的單調性，偶函數(shù)的性質，是一道中檔題．