Question

11．自2014年1月26日悄悄上線后，微信紅包迅速流行開來(lái)，其火爆程度不亞于此前的“打飛機(jī)”小游戲，數(shù)據(jù)顯示，從除夕開始至初一16時(shí)，參與搶微信紅包的用戶超過(guò)500萬(wàn)，總計(jì)搶紅包7500萬(wàn)次以上．小張除夕夜向在線的小王、小李、小明隨機(jī)發(fā)放微信紅包，每次發(fā)1個(gè)．
（Ⅰ）若小張發(fā)放10元紅包3個(gè)，求小王恰得到2個(gè)的概率；
（Ⅱ）若小張發(fā)放4個(gè)紅包，其中5元的一個(gè)，10元的兩個(gè)，15元的一個(gè)，記小明所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出小張發(fā)放10元紅包3個(gè)，小王恰得到2個(gè)的概率．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，5，10，15，20，25，30，35，40，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）小張除夕夜向在線的小王、小李、小明隨機(jī)發(fā)放微信紅包，每次發(fā)1個(gè)．
∵小張發(fā)放10元紅包3個(gè)，
∴小王恰得到2個(gè)的概率p=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$=$\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，5，10，15，20，25，30，35，40，
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$，
P（X=5）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{81}$，
P（X=10）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）×（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=15）=$\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}•\frac{1}{3}$×$（\frac{2}{3}）^{2}$+$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=20）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+$$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{81}$，
P（X=25）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$×2=$\frac{10}{81}$，
P（X=30）=$\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{81}$，
P（X=35）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×{C}_{2}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{2}{81}$，
P（X=40）=（$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	5	10	15	20	25	30	35	40
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{16}{81}$	$\frac{16}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{10}{81}$	$\frac{4}{81}$	$\frac{2}{81}$	$\frac{1}{81}$

EX=$0×\frac{16}{81}+5×\frac{8}{81}+10×\frac{16}{81}$+$15×\frac{16}{81}+20×\frac{8}{81}$+$25×\frac{10}{81}+30×\frac{4}{81}$+35×$\frac{2}{81}+40×\frac{1}{81}$=$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．